Они знали, что прежде чем зайти в её заросший сорняками дворик, нужно было остановиться у калитки и получить разрешение. Если калитка открывалась без спросу, Безумная Кейт это слышала. И тогда в окне её лачуги появлялось дуло дробовика, и в вашу сторону летел заряд птичьего корма.

Иона обернулся, чтобы спросить мнение Билла, но того уже и след простыл.
- Эй, парни! - крикнул Билл, который уже стоял возле двери лачуги Кейт и заглядывал внутрь. – Похоже, её нет дома!

1. Билл
2. Он знал, что старухи нет дома, поскольку сам и выманил ее на встречу к закусочной. Именно поэтому он не ждал у калитки разрешения войти, а сразу пошел к дому, не боясь получить в ответ выстрел из дробовика.

- Вы живёте рядом с парком, - сказал Фрэнки, указывая на противоположную сторону улицы. - Держу пари, какие-то ребята играли в бейсбол и попали мячом в ваше окно. Они пробрались в дом, чтобы забрать свой мяч. И тут они нашли ваш мячик и тоже его прихватили.
- Звучит довольно логично, - вынуждена была признать Безумная Кейт.
- Нет, - вмешался Иона. – Эта теория не объясняет телефонный звонок, которым вас выманили из дома. Нет, мэм, это был Билли.
- Я? – возмутился Билл. – Что ты мелешь? Я пришёл сюда вместе с вами.
- Неужели? – возразил Иона. - Тогда почему ты вбежал во двор и бросился к двери, не позвав сначала хозяйку? Она могла же выстрелить в тебя птичьим кормом.
- Нет, не могла, - сказал Билл. – Её ведь не было дома.
- А как ты узнал, что её нет дома?
Билл ничего не ответил.
- Ты знал, потому что обманом заставил её выйти на улицу, - промолвил Иона. – А потом ты забрался в дом и украл мячик.

Похоже, что мячик взял Билл. Обычно, ребята предупреждали Кейт, чтобы она не выстрелила в них птичьим кормом из дробовика. Но Билл сразуу помчался к ее дому. Значит знал, что Кейт там нет.

Кроме того, что мать Ионы, т.е. детектив отдела по расследованию тяжких преступлений
Кэрол Биксби ошиблась, назвав Кейт "беспомощной старухой", ничего не могу придумать.

Ведь Кейт, по её словам, сказанным мальчикам, не только выходила из дому, чтобы пройти до закусочной, получив звонок с сообщением о небольшом денежном наследстве, но и при 3 свидетелях "неслась по тропинке", "пронеслась мимо ребят и вбежала в свой дом".

Как вариант, возможно, Кейт, попробовав еду, которая, на этот раз, ей действительно очень сильно не понравилась (ведь она говорила ребятам каждый раз на протяжении многих недель, что "на прошлой неделе еда была лучше"), решила сделать так, чтобы добросовестные ребята больше не носили еду. Ведь после этого она впервые показала им мячик. И, разыграв похищение мячика, таким образом показала ребятам, что не является беспомощной и может при желании даже добежать до закусочной.

А мячик она могла выбросить подальше от дома, очевидно, через предварительно разбитое ею извне окно (наверное на втором этаже), чтобы его потом нашли ребята, например, Фрэнки, который сказал слова "её хлама" и "очень жаль" в фразе: "Кто бы мог поверить, что среди её хлама найдётся такая ценная вещь, - Очень жаль."

Конечно, в таком случае, получается, что Кейт совсем не безумна.

Леди Эстер писал(а):Похоже, что мячик взял Билл. Обычно, ребята предупреждали Кейт, чтобы она не выстрелила в них птичьим кормом из дробовика. Но Билл сразу помчался к ее дому. Значит знал, что Кейт там нет.

Автор всегда прав. Но может Билл просто очень сильно переживал из-за Кейт после того, как увидел разбитое в её доме окно и потому первым бросился к дому, забыв о дробовике, а мог и помнить, но просто решить, что ей нужна помощь. В пользу этого говорят и его слова, сказанные ребятам: "Похоже, её нет дома!", т.е. Кейт нет дома, а просто разбито окно.

Ведь и другие ребята, тоже увидев разбитое окно, переживали за неё на словах, согласно условию загадки: "Иона и Фрэнки стали спорить о том, что им делать дальше. "Или же проверить, как там Кейт, и убедиться, что с ней всё в порядке?..."

А кроме того, у Билла, если бы это действительно он звонил в дом Кейт, с целью выманить её, было время, чтобы после её ухода спокойно забрать мячик. Ведь она отсутствовала около получаса и, наверное, Билл знал, на каком расстоянии находится закусочная, хотя, возможно, он и не знал, что Кейт способна очень быстро бегать.

Да ведь и не нужно было Биллу добегать до дома Кейт первым, если у него было время взять мячик раньше.

Остаётся вариант, что он заранее разбил окно, позвонил Кейт, выманив её из дому, но, например, подозревая, что Кейт очень быстро бегает, ему одному было страшно идти к дому. И он должен был попробовать взять мячик, когда будет возле дома не один, а с ребятами. Но, в таком случае, это он должен был обратить внимание ребят на разбитое окно. А это сделал Фрэнки. Так что Фрэнки мог взять мяч за эти полчаса, разбить окно, но не побежать первым, потому что он точно знал где мяч, о котором говорил ранее как о ценной вещи.

Почему еще Биллу, возможно, необходимо было первому оказаться на месте пропажи мячика? Если он должен был первым добежать до дома и через предварительно разбитое им окно выбросить мячик в него, не разбивая им окно, чтобы не было понятно, что мяч выбросили из дому. А потом вернуться ко входу дома и оттуда сказать:
"- Эй, парни! - крикнул Билл, который уже стоял возле двери лачуги Кейт и заглядывал внутрь. – Похоже, её нет дома!" Может ему кто-то умный сказал, что нужно забежать в дом после слов о разбитом окне и этот кто-то точно знал, что Кейт нет дома, а не похоже, её нет дома, как он сказал. Тогда, получается, это Фрэнки. Иона, как следователь, ищущий правду и в других историях, наверное, не знал о том, что мячик будет похищен.

К большому сожалению, ни в загадке, ни в её решении нет намёка о том, когда пропал мячик и когда было разбито окно. Что расширяет базу для предположений. Может даже сама Кейт была участником похищения. Может она показала мячик трём свидетелям, чтобы затем получить за него страховку и разделить её с сообщником, который позвонил ей по телефону, в определённое время, зная, что по воскресеньям ребята катаются на скейтбордах, собираясь возле пандусов для скейтборда и будут надёжными свидетелями и разбитого окна и похищения мячика. Могла Кейт организовать похищение мячика сама или со своим взрослым сообщником, предварительно посвятив в некоторые детали именно Фрэнки, обратившего внимание на разбитое при этом окно, например, чтобы были свидетели похищения, таким образом, поднимая цену на раритетный мячик с автографом, для последующей продажи его взрослым ценителям за большИе деньги. Ведь похищают лишь ценные для кого-то материальные предметы.

Именно этим может и объясняться улыбка, в таком случае, наивного и Фрэнки, которому могли сказать, что происходящее - просто игра и мячик не похищен, а, например, решили проверить его товарища Иону как детектива. Ведь в рассказе сказано:
- Я предполагаю, что произошло, - сказал Фрэнки и улыбнулся.
Как иначе объяснить улыбку ребёнка в сложившихся обстоятельствах?

И в этих случаях, получается, что Кейт совсем не безумная.

Но загадка о пропаже очень интересная.

Выше эту загадку назвали простой. Я заподозрил Фрэнки, потому что он улыбнулся. Иногда стоит читать внимательней.
Кстати, elemath, Ваша теория очень оригинальна. Но я не думаю, что если бы автограф на мячике был действительно настоящим, Безумная Кейт рискнула бы спрятать его в надежде на то, что нашедший его вернёт такую ценность владелице.