Видимо страховой агент подменил брошь. Поэтому она прохладная на ощупь, ведь тот пришел в улицы. Иначе она была бы теплой, нагрелась бы от рук сестер, вырывавших ее друг у друга.

Была практически такая же задачка с подбрасыванием теплого ключа в холодный школьный шкафчик.

Брошь холодная, а сестры все время сидели у камина и брошь тоже должна быть теплой. Стало быть ее подменил пришедший с холода ("холодным февральским днем") Биттерман, сделав копию по фотографии в газете.

Иона взял в руки "прохладную на ощупь" брошь, а она перед этим лежала у камина да побывала в руках едва не подравшихся сестёр, потом её, держа в руках, осматривал Биттерман.То есть она не должна быть холодной. Вывод: брошь подменил Биттерман, который только что пришёл с холода и во время осмотра заменил настоящее украшение подделкой.

- Кто-то подменил брошь, - сказал Иона матери. – Мистер Биттерман сказал, что имеется множество поддельных копий этой брошки. Наверное, было бы нетрудно найти такую копию и произвести подмену.
Кэрол Биксби подумала о своих кузинах.
- Не могу поверить, чтобы Гвен или Стефани так поступили. Может быть, ошибся ювелир, к которому мы ходили? Может, это изначально была подделка?
- Нет, брошь определённо подменили, - настаивал Иона. – Она пролежала в доме весь день. И всё же, когда я сейчас до неё дотронулся, брошь была холодной, как будто её принесли с улицы.
- С улицы? – Кэрол посмотрела на единственного, только что пришедшего снаружи человека – оценщика Биттермана. – Ты хочешь сказать, что он принёс фальшивку и подменил брошь?
- Почему бы и нет? – пожал плечами Иона. – Фотография броши была напечатана в газете, так что он прекрасно знал, как она выглядит.
Джон Биттерман уже стоял у дверей и надевал пальто, когда Кэрол Биксби взяла его под руку.
- Извините, мистер Биттерман, но мне придётся обыскать ваши карманы.

Не знаю, кого заподозрил Иона, но в такой ситуации наибольшее подозрение вызывает Кэрол Биксби - детектив отдела по расследованию тяжких преступлений.

Наверное, о том, что брошь настоящая, ювелир сказал сёстрам правду, когда они принесли её ему на экспертизу. Сомневаюсь, что он мог быть уверен, что скажи он им, что брошь - имитация, сёстры согласились бы оставить брошь у него. Да и разыгрывать таким образом сестёр ему также не было смысла, ведь могла пострадать его репутация оценщика.

После того, как о броши написала местная газета, снабдив заметку цветной фотографией броши, кандидатов на то, чтобы завладеть брошью стало намного больше. Не знаю, каким образом мать Ионы, т.е. детектив отдела по расследованию тяжких преступлений
Кэрол Биксби допустила такую публикацию в прессе и, главное, зачем, но поскольку в загадке сказано, что "вся эта шумиха заставила Кэрлл Биксби понервничать", то, не удивлюсь, если это именно она, очевидно, не зря занимая свою должность, решила исправить свою оплошность и втайне от сестёр подменила брошь копией, возможно ещё, при этом, заранее уведомив своих коллег, подозревая, что за брошью могут явиться ценители настоящих бриллиантов, чтобы похитить её. И не только под видом сотрудника страховой компании. Ведь сёстры после её предложения решили застраховать брошь.

Естественно, вызывает подозрение Джон Биттерман, доказавший свою принадлежность к страховой компании с помощью одной лишь визитной карточки: "Апекс Файн Страхование". Разве что визитные карточки этой компании сопоставимы по цене с настоящей брошью тётей Пенни.

Не знаю, какое значение в таких загадках имеет быстрота и ловкость рук, но, сказано, что перед осмотром броши Джон Биттерман поправил включённый торшер. Здесь, если он (будучи сотрудником или не будучи сотрудником указанной страховой компании) пришёл забрать настоящую брошь, поверив почему-то, что после газетной публикации с фотографией, настоящая брошь всё ещё будет там, всё зависит от его квалификации. Он мог подменить брошь очередной копией, которая была сделана кем-то по фотографии в газете, или ювелиром, которому сёстры показывали её, например, перед тем как он поправил торшер. Затем, когда он поправлял торшер, он мог понять, например, по весу взятой броши, что та не настоящая и назад обменять броши, например, заподозрив, что на выходе из дома его ожидает засада, устроенная коллегами детектива Кэрол Бигсби. Спрятал ли он свою копию в доме перед выходом - не знаю.

Не знаю и, как квалифицировал бы суд, следственные органы и адвокат его поступок, например, если бы он взял копию и оставил вместо неё тоже копию. Ведь кража подразумевает похищение ценной вещи. И даже больше - если бы он вышел со своей копией и был задержан - является ли проступком прогулка с копией броши, о которой напечатали в газете статью, ювелирной лупой и визитной карточкой страховой компании.

Наверное, чтобы точнее знать, что произошло, необходимо было внимательно наблюдать за реакцией сестёр Кэрол Бигсби, когда Джон Биттерман, изучив брошь с лупой, сказал им, что брошь не настоящая. Ведь Кэрол не могла не сказать им, что после публикации подменила брошь, иначе обращаться после этого в страховую компанию, подозревая, что страховой агент назовёт брошь не настоящей, было бы с её стороны жестоко по отношению к сёстрам.
А Иона в это время смотрел и изучал прохладную брошь.